【ゲーム数学】平面に投影したベクトルを求める

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前提条件

3次元空間において、法線ベクトル $\vec{n}$ 、平面を通る点 $A$ で表現される平面に対し、ベクトル $\vec{v}$ を投影した平面上のベクトル $\vec{v’}$ を求めることを想定します。

平面に投影したベクトル $\vec{v’}$ は、次式で求められます。

平面に投影したベクトル

\vec{v'} = \vec{v} - \frac{\vec{n} \cdot \vec{v}}{|\vec{n}|^2} \vec{n}

ただし、 $|\vec{n}| \neq 0$

特に、 $|\vec{n}|=1$ すなわち法線ベクトル $\vec{n}$ が正規化されたとき、次式で表されます。

平面に投影したベクトル(法線ベクトルが正規化された場合)

\vec{v'} = \vec{v} - (\vec{n} \cdot \vec{v}) \vec{n}

法線ベクトル $\vec{n}$ 、点 $A$ 、ベクトル $\vec{v}$ をそれぞれ、

\vec{n} = \left( \begin{array}{c} n_x \\ n_y \\ n_z \end{array} \right) , A = \left( \begin{array}{c} a_x \\ a_y \\ a_z \end{array} \right) , \vec{v} = \left( \begin{array}{c} v_x \\ v_y \\ v_z \end{array} \right)

とすると、平面に投影したベクトル $\vec{v’}$ の $xyz$ 成分は次のように表されます。

平面に投影したベクトルのxyz成分

\vec{v'} = \left( \begin{array}{c} v_x - s n_x \\ v_y - s n_y \\ v_z - s n_z \end{array} \right) \\

s = \frac{n_x v_x + n_y v_y + n_z v_z}{n_x^2 + n_y^2 + n_z^2}

$|\vec{n}|=1$ すなわち法線ベクトル $\vec{n}$ が正規化されたとき、次式で表されます。

平面に投影したベクトルのxyz成分(法線ベクトル正規化時)

\vec{v'} = \left( \begin{array}{c} v_x - s n_x \\ v_y - s n_y \\ v_z - s n_z \end{array} \right)

s = n_x v_x + n_y v_y + n_z v_z

ベクトル $\vec{v}$ の始点を $P$ 、終点を $Q$ とし、

\vec{v} = \vec{PQ} \tag{1}

とします。

点 $P$ 、点 $Q$ を平面上に投影した点をそれぞれ点 $P’$ 、点 $Q’$ として、投影点の式を用いて、点 $P’$ 、点 $Q’$ を求めます。

投影点を求める式

H = P - \frac{\vec{n} \cdot \vec{AP}}{|\vec{n}|^2} \vec{n}

$H$ は投影点（垂線の足）

$P$ は投影対象の点

式の証明はこちらから

P' = P - \frac{\vec{n} \cdot \vec{AP}}{|\vec{n}|^2} \vec{n}

Q' = Q - \frac{\vec{n} \cdot \vec{AQ}}{|\vec{n}|^2} \vec{n}

平面に投影したベクトル $\vec{v’}$ は、

\begin{aligned} \vec{v'} &= \vec{P'Q'} \\ &= Q - \frac{\vec{n} \cdot \vec{AQ}}{|\vec{n}|^2} \vec{n} - \{P - \frac{\vec{n} \cdot \vec{AP}}{|\vec{n}|^2} \vec{n}\} \\ &= (Q - P) + \frac{(\vec{n} \cdot \vec{AP})\ - (\vec{n} \cdot \vec{AQ})}{|\vec{n}|^2} \vec{n} \\ &= \vec{PQ} + \frac{(\vec{n} \cdot \vec{AP})\ - (\vec{n} \cdot \vec{AQ})}{|\vec{n}|^2} \vec{n} \tag{2} \end{aligned}

ここで、

\vec{n} = \left( \begin{array}{c} n_x \\ n_y \\ n_z \end{array} \right) , P = \left( \begin{array}{c} p_x \\ p_y \\ p_z \end{array} \right) , Q = \left( \begin{array}{c} q_x \\ q_y \\ q_z \end{array} \right)

とすると、

\begin{aligned} (\vec{n} \cdot \vec{AP})\ - (\vec{n} \cdot \vec{AQ}) &= n_x (p_x - a_x) + n_y (p_y - a_y) + n_z (p_z - a_z) \\ &{} \space\space\space\space - \{n_x (q_x - a_x) + n_y (q_y - a_y) + n_z (q_z - a_z)\} \\ &= n_x (p_x - q_x) + n_y (p_y - q_y) + n_z (p_z - q_z) \\ &= \vec{n} \cdot \vec{QP} \tag{3} \end{aligned}

$(1)$ $(3)$ を $(2)$ に代入すると、

\begin{aligned} \vec{v'} &= \vec{PQ} + \frac{\vec{n} \cdot \vec{QP}}{|\vec{n}|^2} \vec{n} \\ &= \vec{PQ} + \frac{\vec{n} \cdot (-\vec{PQ})}{|\vec{n}|^2} \vec{n} \\ &= \vec{v} + \frac{\vec{n} \cdot (-\vec{v})}{|\vec{n}|^2} \vec{n} \\ &= \vec{v} - \frac{\vec{n} \cdot \vec{v}}{|\vec{n}|^2} \vec{n} \end{aligned}