【ゲーム数学】平面に投影した点（垂線の足）の座標を求める

前提条件

3次元空間において、法線ベクトル $\vec{n}$ 、平面を通る点 $A$ で表現される平面に、点 $P$ を投影したときの投影点 $H$ の座標を求めるとします。

投影点 $H$ の座標は次式で求められます。

投影点

H = P - \frac{\vec{n} \cdot \vec{AP}}{|\vec{n}|^2} \vec{n}

ただし、 $|\vec{n}| \neq 0$

特に、 $|\vec{n}|=1$ 、すなわち法線ベクトル $\vec{n}$ が正規化された場合は、次式のようになります。

投影点(法線ベクトルが正規化された場合)

H = P - (\vec{n} \cdot \vec{AP}) \vec{n}

法線ベクトル $\vec{n}$ 、点 $A$ 、点 $P$ をそれぞれ、

\vec{n} = \left( \begin{array}{c} n_x \\ n_y \\ n_z \end{array} \right) , A = \left( \begin{array}{c} a_x \\ a_y \\ a_z \end{array} \right) , P = \left( \begin{array}{c} p_x \\ p_y \\ p_z \end{array} \right)

とすると、投影点 $H$ は次式で表現されます。

投影点のxyz座標

H = \left( \begin{array}{c} p_x - s n_x \\ p_y - s n_y \\ p_z - s n_z \end{array} \right)

s = \frac{n_x (p_x - a_x) + n_y (p_y - a_y) + n_z (p_z - a_z)}{n_x^2 + n_y^2 + n_z^2}

法線ベクトル $\vec{n}$ が正規化された場合は、次式のようになります。

投影点のxyz座標(法線ベクトルが正規化された場合)

H = \left( \begin{array}{c} p_x - s n_x \\ p_y - s n_y \\ p_z - s n_z \end{array} \right)

s = n_x (p_x - a_x) + n_y (p_y - a_y) + n_z (p_z - a_z)

点 $APH$ からなる三角形に着目します。

点 $A$ を通る垂線と $AP$ とのなす角を $\theta$ とすると、

\begin{aligned} |\vec{HP}| &= ||\vec{AP}| \cos \theta| \\ &= \frac{|\vec{n}| ||\vec{AP}| \cos \theta|}{|\vec{n}|} \\ &= \frac{|\vec{n} \cdot \vec{AP}|}{|\vec{n}|} \end{aligned}

\displaystyle 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}

のとき、

\vec{n} \cdot \vec{AP} \geq 0

より、

\begin{aligned} \vec{HP} &= \frac{|\vec{HP}|}{|\vec{n}|} \vec{n} \\ &= \frac{\vec{n} \cdot \vec{AP}}{|\vec{n}|^2} \vec{n} \end{aligned}

\displaystyle \frac{\pi}{2} < \theta \leq \pi

のとき、

\vec{n} \cdot \vec{AP} < 0

より、

\begin{aligned} \vec{HP} &= -\frac{|\vec{HP}|}{|\vec{n}|} \vec{n} \\ &= -\frac{-\vec{n} \cdot \vec{AP}}{|\vec{n}|^2} \vec{n} \\ &= \frac{\vec{n} \cdot \vec{AP}}{|\vec{n}|^2} \vec{n} \end{aligned}

したがって、

\begin{aligned} H &= P - \vec{HP} \\ &= P - \frac{\vec{n} \cdot \vec{AP}}{|\vec{n}|^2} \vec{n} \end{aligned}